Pour un espace $X$ normé, réel ou complexe, on définit avec (1), (2) et (5) la généralisation unique du produit scalaire. On démontre que cette généralisation a des propriétés meilleures que celles des généralisations correspondantes de Tapia [9] et Abreu, Canavati [1]. Mettant a profit la fonctionnelle $g$ définie par (2), on établit certaines propriétés nouvelles des notions suivantes: convexité stricte (CS), complexe convexité stricte (cCS), convexité $c_1$-stricte ($Cc_1S$), lissité ($L$), complexe lissité absolue ($cLA$) et $c_1$-lissité absolue ($c_1LA$).