Sequential theory of some semigroups in tempered distributions


Endre Pap, Stevan Pilipović




Rad je vezan za sekvencijalnu teoriju distribucija [1], te su i osnovne oznake iz [1]. U radu se dokazuju neke osobine polugrupe operatora tipa niza množitelja nad temperiranim distribucijama $\mathcal S'$ extsc{Teorema 1}. Neka je $f\in\mathcal S'$ i $f=\sum_{n\in P^q}a_nh_n$. Ako za kompleksne brojeve $\mu_n$, $n\in P^q$ postoji realan broj $S>0$ i $p_0\in P^q$ tako da je (3) za svako $n\in P^q$, tada važi i da (4) operator $T$, definisana sa (4) $T(f)=g$, pripada $L(\mathcal S',\mathcal S'$ (skupu svih linearnih i neprekidnih operatora sa $\mathcal S'$ i $\mathcal S'$). extsc{Definicija}. Polugrupa $T_t$ operatora (6) za $t\geq0$ (jako) je temperirana ako i samo ako za kompleksne brojeve $\mu_n$, $n\in P^q$, postoje: 1. realan broj $S>0$, 2. $p_0\in P^q$, 3. neprekidna funkcija $U(t)$ za $t\geq0$, 4. funkcija $r(t)$ $(t\geq0)$ sa vrednostima u $P^q$ i sa osobinom da je za proizvoljni konvergentni niz $t_n\geq0$ $(n\in N)$ niz $r(t_n)$ ograničen, takvi da važi (3) i (7) (da važi (7')). Neprekidnost i izvod polugrupe karakteriše sledeća: extsc{Teorema 2}. Za temperiranu polugrupu $T_t$, $t\geq0$ i za svako $f\in\mathcal S'$ važi i), ii) i iii) ($A$ je dato sa (8)) za jako ili realno temperiranu polugrupu. Integral polugrupe karakteriše sledeća: extsc{Teorema 3}. Za svako $f\in\mathcal S'$ i $0<t+\infty$ je $\int_{0}^{t}T_ufdu=\sum_{n\in P^q}\mu_n(t)a_nh_n$, gde je $T_u$ temperirana polugrupa. extsc{Teorema 4}. Ako $f\in\mathcal S'$ i $r\to\infty$ tada za jako temperirano $T_t$, $\sum_{k=1}^{r}\frac{t^kA^k}{k!}f\overset{t}\rightarrow T_tf$ za $t\geq0$. Na kraju se navodi primena dobijenih rezultata u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina.