U ovom radu je dokazana teorema o egzistenciji rešenja početnog problema: \[ \dot x=H(f1,(t,x,g_1(t,x,\dot x)),...,f_n(t,x,gn(t,x,\dot x))) x(t_0)=x_0 \] u lokalno konveksnim prostorima korišćenjem teoreme o egzistenciji rešenja jednačine $x=G(x,Sx)$ u lokalno konveksnim prostorima koja je dokazana u radu [1]. Kada je $n=1$ i $H(z)=z$, iz teoreme koja je ovde dokazana sledi teorema iz rada [2].