$k$-Полусети, описанныв автором в [1], являются одним из обобщений $k$-сетей [2, 3]. $k$-Полусети весьма тесно связаны со специальными ортогональными системами частичных квазигрупп [1], со специальными кодами [12-16], с аффинными пространствами Спернера [6, 7] и с $\Gamma$-дизайнами [17]. В [4] получена харантериэация $k$-полусетей $(\mathfrak T,\{L_1,\dots,L_k\})$ с помощью объвнтов типа $(\mathfrak T,\mathfrak L,\|)$, где $\mathfrak T\neq\emptyset$, $\mathfrak L\subseteq P(\mathfrak T)\backslash^k\{\emptyset\}$, $\|\subseteq \mathfrak L^2,A\|$ удовлетворяет "условию евклидовой параллельности”. (Подобная проблематика рассматриваетя и в [5]). В настоящей работе обобщаются $k$-полусети на $LN-k$-полусети и $RN-k$-полусети (левые-почти-$k$-полусети и правые-почти-$k$-полусети). Справедливо: $(\mathfrak T,\{L_1,\dots,L_k\})$ является $k$-полусетью тогда и тольно тогда, когда $(\mathfrak T,\{L_1,\dots,L_k\})$ является сразу $LN$- и $RN-k$-полусетью. Существуют $LN-k$-полусети $(\mathfrak T,\{L_1,\dots,L_k\})$, имеющие носитель $(\mathfrak T,\mathfrak L)$, \[ \mathfrak L=\cup^k_{i=1}L_i, \] недопустимый для $k$-полусетей. Также существуют $RN-k$-полусети, имеющие носитель $(\mathfrak T,\mathfrak L)$, \[ \mathfrak L=\cup^k_{i=1}L, \] недопустимый для $LN-k$-полусетей. Носитель наждой $LN-k$-полусвти является $L$-геометрией (примечание 8) [8]. Однако, существуют $RN-k$-полусети, носитель, которых не является $L$-геометрией. Любую конечную $LN-k$-полусеть, в которой каждая пряамая имеет по меньшей мере три точки и любые две различные точки являются колинеарными, можно координатизировать о помощью одной $A_t$-квазигруппы [8]. Получается харантеризация $LN-k$-полусетей $(\mathfrak T,\{L_1,\dots,L_k\})$ с помощью объектов типа $(\mathfrak T,\mathfrak L,\|)$, где $\mathfrak T\neq\emptyset$, $\mathfrak L\subseteq P(\mathfrak T)\backslash\{\emptyset\}$,$\|\subseteq\mathfrak L^2,A\|$ удевлвтворяет условию: для каждой $A\in\mathfrak T$ и каждой $p\in\mathfrak L$ существует не больше, чем одна $p'\in\mathfrak L$ таная, что $p'\|p$ и $A\in p'$.