В [1] введены понятия $A^3_t$- и $A^4_t$-алгебр. В [2] дано такое определение $A^m_t$-квазигруппы ($А^m_t$-алгебы), что $A^3_t$- и $A^4_t$-алгебры оказываются ее частными случаями. В настоящей работе введены $A^t$-квазигруппы, являющиеся одним обобщением $A^m_t$-квазигрупп. $A^m_t$-квазигруппы являются координатизационными системами конечных регулярных плоскостей (в наторых прямые $\ell$ удовлетворяют условию $|\ell|\geq3$ [3]. В настоящей статье рассматривается координатизация TCL-геометрии с помощью $A_t$-квазигрупп. С помощью $А^m_t$-квазигруп можно координатизировать, кроме аффинных и проективных конечных плоскостей, и, например, аффинные пространства Спернера (если только их порядок больше двух) [15-16]. Нетривиальные аффинные пространства Спернера являются специальными $k$-полусетями [5-6]. $k$-полусети, введенные в [4], являются одним обобщением $k$-сетей [7-8]. Если $k>3$, то $k$-полусети можно ноординатизировать с помощью $k-2$ регулярных частичных квазигрупп, являющихся попарно регулярно ортогонаьными [4]. В настоящей работе, потпуно показано, что любую конечную $k$-полусеть в наторой каждая прямая имеет по меньшей мере три точки и где любые две различные точни являются нолинеарными [6], можно ноординатизировать с помощью одной $A_t$-квазигруппы. Кстати, $k$-пoлyceти весьма тесно связаны с специальными кодами [9-13], с $r$-дизайнами [14] и со одним классом (в общем случае частичных) $\angle m,n\rangle$-квазигрупп [17]. С помощью $A_t$-квазигрупп можно ноординатизировать и, например, проективное пространство Спернера (Примечание 4). (В настоящей статье не рассмотривается аналогичная координатиэация $L$-геометрий,среди которых находятся, в некотором смысле, и все конечные $k$-полусети, в которых каждая прямая имеет по меньшей мере три точки.)