Köteov ``echelon'' prostor [2] zadovoljava $K$-uslov [1]. Pored dijagonalne teoreme ta činjenica predstavlja najvažniji deo dokaza da teorema o jezgru važi za Köteov ``co-echelon'' prostor kao i za prostore temperiranih i Švarcovih distribucija [1,2]. U ovom radu pokazujemo da $K$-uslov važi za jednu klasu ``echelon'' prostora reda $r$ veceg od 1 [4]. Odatle i iz dijagonalne teoreme, slično kao u [2] sledi da teorema o jezgru važi za neke ``co-echelon'' prostore reda $s=(1-1/r)$. U specijalnom slučaju dobijamo teoremu o jezgru za prostore uopštenih funkcija tipa $\mathcal U'_0$ [5].