Skupovna funkcija definisana nad $\sigma$-prstenom i sa vrednostima u komutativnoj polugrupi $X$ sa familijom $F$ nenegativnih funkcija $f$ [3], je \emph{trougaona} ako zadovoljava uslove \begin{itemize} ıem[(T$_1$)] $f(\mu(A\cup B))\leq f(\mu(A))+f(\mu(B))$; ıem[(T$_2$)] $f(\mu(A\cup B))\geq f(\mu(A))+f(\mu(B))$ \end{itemize} za $A,B\in\Sigma$ i $A\cap B=\emptyset$. U osnovi rada se nalazi sledeća elementarna teorema. \emph{Dijagonalna teorema za skupovne funkcije}. Neka je $\{\mu_n\}$ niz ne rastućih skupovnih funkcija tako da je \begin{itemize} ıem[(*)] $\lim\limits_{j\to\infty}\mu_i(\{j\})=0\quad(i\in N)$ \end{itemize} (ili niz ure{\dj}eno neprekidnih (T$_2$)-skupovnih funkcija sa vrednostima u polugrupi $X$) definisan nad $P(N)$. Tada postoji beskonačan skup $I\subset N$ i njegov podskup $J$, takvi da je za svako $i\in I$ \begin{align} &um_{jı J}\mu_i(\{j\})<ıfty& &(um_{jı J}(\mu_i(\{j\})<ıfty,\quad fı F)ag{2.1} &\mu_i(J)\geq\frac12\mu_i(\{i\})& &(f(\mu_i(J))\geq\frac12f(\mu_i(i)),\quad fı F).ag{2.2} \end{align} Pomoću prethodne Dijagonalne teoreme se na sasvim elementaran način dokazuju teoreme 1. i 2. tipa Nikodyma o uniformnoj ograničenosti neopadajućih ekshaustivnih odnosno ure{\dj}eno neprekidnih trougaonih skupovnih funkcija nad $\sigma$r-prstenom. Poznato je da Nikodymova teorema o uniformnoj ograničenosti ne važi za aditivne skupovne funkcije nad algebrom skupova. U teoremi 3. dobijen je pozitivan rezultat u tom pravcu za, u opštem slučaju, ne aditivne skupovne funkcije.